(Demostrado con álgebra elemental: si el lector no se acuerda, véase abajo).
Esto es un breve resumen de parte de William Sharpe, en “The Arithmetic of Investment Expenses”,
Financial Analysts Journal , March/April 2013, Vol. 69(2),
http://www.cfapubs.org/doi/pdf/10.2469/faj.v69.n2.2
Sólo consideremos el caso más simple, de una inversión inicial $K_0$ sin aportes posteriores.
Representemos las rentabilidades de años sucesivos como $r_1, r_2, ...$
En cada año $ i$ de la inversión, el capital final será igual al capital acumulado del año anterior aumentado por la rentabilidad $r$ de ese año (sea positiva o negativa) y disminuido por un costo (comisiones, sean explícitas o implícitas) sobre saldo $c$ (que aquí suponemos igual a lo largo del tiempo).
De tal manera,
para el año 1, $$K_1 = K_0(1+r_1)(1-c)$$
para el año 2, $$K_2 = K_1(1+r_2)(1-c)=K_0(1+r_1)(1-c)(1+r_2)(1-c)$$
para el año 3, $K_3= K_2(1+r_3)(1-c)=K_0(1+r_1)(1-c)(1+r_2)(1-c )(1+r_3)(1-c)$
y así sucesivamente.
Nótese que cada año se añade una multiplicación por $(1-c)$.
Generalizando para un año $n$,
$$K_n = K_0(1+r_1)(1-c)(1+r_2)(1-c)...(1+r_n)(1-c)=$$
$ = K_0(1-c)^n(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)$
En una inversión perfecta, sin comisiones, $c=0,(1-c)^n=1^n=1$ y así
$$ ^0K_n = K_0(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)$$
Entonces podemos evaluar el efecto de distintas comisiones $A, B$ en dos inversiones equivalentes $^AK_n , ^BK_n$ (con el mismo portafolio de base que goza o sufre las mismas rentabilidades año tras año -- el producto $\prod_{i=1}^n(1+r_i)$ es el mismo para ambas) mediante la tasa
$$\frac{^AK_n}{^BK_n}=\frac{ K_0 (1-c_A)^n (1+r_1) (1+r_2)...(1+r_n)}{K_0 (1-c_B)^n (1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)} = (\frac{1-c_A}{1-c_b})^n $$
al cancelar los factores comunes arriba y abajo. Estas cancelaciones tienen una interpretación interesante: el efecto de las comisiones es independiente de las rentabilidades que pueda tener el portafolio.
Al comparar un portafolio sin comisiones versus el mismo con comisiones,
$$\frac{^0K_n}{K_n}=\frac{K_0(1-c)^n(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)}{K_0(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)}=(1-c)^n$$
Puede también ser útil la representación inversa $\frac{^0K_n}{K_n} = \frac{1}{(1-c)^n}$
Ejemplos:
a) supongamos dos portafolios internacionales, muy parecidos (como los de los fondos voluntarios de pensiones). Uno con comisiones de 4%, otro con comisiones de 3%; dejémoslos crecer 20 años.
$$(\frac{1-0.03}{1-0.04})^{20} = (\frac{0.97}{0.96})^{20} \simeq 1.23$$
Lo interpretamos diciendo que al cabo de 20 años, un portafolio a comisiones del 3% sería 23% más grande que uno puesto al 4%.
b) ¿Cuál es el efecto de una comisión del 3% versus un portafolio sin comisiones, al cabo de 25 años?
$(1-0.03)^{25}=0.97^{25} \simeq 0.47$
lo que revela que en vez de terminar con $1 de capital final, nos hemos de conformar con 47 centavos, o que nos tuvimos que conformar con 1 millón de dólares al final, en vez de terminar con 1/.47 = 2.13 millones si no hubiéramos tenido comisiones.
Del álgebra es suficiente saber que
- si tenemos una cantidad inicial, por ejemplo $\$1$ millón, lo invertimos y la rentabilidad fue del, digamos, 7%, lo que acabaremos teniendo será
$ 1'000.000 (1+0.07) = 1'000.000 \cdot 1.07 = 1'070.000$.
La representación abstracta es $K_{final}=K_{inicial}\cdot(1+r)$, donde $r$ es la rentabilidad; 7% = 0.07).
- Si de 1'000.000 nos quitan el 15%, quedamos con $1'000.000\cdot(1-0.15)=1'000.000 \cdot 0.85=850.000$. En general, $ K_{descontado}=K_{inicial}\cdot(1-c)$, donde $c$ es la comisión porcentual.
- en fracciones, $\frac{a \cdot b \cdot c}{c \cdot b \cdot d}=\frac{a}{d}$. Los factores comunes arriba y abajo se cancelan. Por ejemplo, $ \frac{2\cdot 3 \cdot 5}{7 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{2}{7}$; no necesitamos hacer la tediosa multiplicación.
- una cantidad $ a$ multiplicada $ n$ veces es igual a $ a^n$. por ejemplo, $ a \times a \times a = a^3$.
- En $A_b, b$ es sólo un indicador de un item en un vector. Por ejemplo, para el vector $\mathbf{r} = [0.05, 0.06, -0.03, 0], \mathbf{r}_2=0.06$.
